จุดลากรางจ์: ที่จอดรถในอวกาศ

ปัญหาการเคลื่อนที่ของวัตถุสามชิ้นภายใต้แรงโน้มถ่วงไม่มีคำตอบทั่วไปในรูปสูตร แต่ในปี ค.ศ. 1772 โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากรางจ์ พบว่าในกรณีพิเศษที่วัตถุชิ้นที่สามเล็กมากจนไม่รบกวนอีกสองชิ้น จะมีห้าตำแหน่งที่วัตถุนั้นหมุนไปพร้อมกับทั้งสองได้โดยรักษาตำแหน่งสัมพัทธ์ไว้ ตำแหน่งเหล่านี้คือจุดลากรางจ์ L1 ถึง L5

ตำแหน่งของทั้งห้าจุด

• L1 อยู่ระหว่างวัตถุทั้งสอง
• L2 อยู่เลยวัตถุที่เล็กกว่าออกไป ด้านตรงข้ามกับวัตถุใหญ่
• L3 อยู่ฝั่งตรงข้ามของวัตถุใหญ่ บนวงโคจรเดียวกันโดยประมาณ
• L4 และ L5 อยู่บนวงโคจรของวัตถุเล็ก นำหน้าและตามหลัง 60 องศา แต่ละจุดเป็นมุมของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีวัตถุทั้งสองเป็นอีกสองมุม

ระยะของ L1 และ L2

สำหรับดาวเคราะห์มวล m ที่โคจรรอบดาวฤกษ์มวล M ที่ระยะ a ทั้ง L1 และ L2 อยู่ห่างจากดาวเคราะห์ประมาณ

ทั้ง L1 และ L2 อยู่ห่างจากดาวเคราะห์พอ ๆ กัน ระยะนี้ไกลขึ้นเมื่อดาวเคราะห์หนักขึ้นเทียบกับดาวฤกษ์ และเมื่อวงโคจรกว้างขึ้น

สำหรับโลกกับดวงอาทิตย์ได้ราว 1.5 ล้านกิโลเมตร ราวสี่เท่าของระยะดวงจันทร์ ระยะนี้ใกล้เคียงกับรัศมีทรงกลมฮิลล์ ซึ่งเป็นขอบเขตที่แรงโน้มถ่วงของดาวเคราะห์ครอบงำแรงจากดาวฤกษ์

เสถียรหรือไม่เสถียร

L1 L2 และ L3 ไม่เสถียร เหมือนลูกบอลบนยอดเนิน ถ้าเบี่ยงไปนิดเดียวจะค่อย ๆ หลุดออกไป ยานอวกาศที่อยู่ที่นั่นจึงต้องจุดเครื่องยนต์ปรับตำแหน่งเป็นระยะ และมักโคจรเป็นวงรอบจุดนั้นแทนการอยู่ตรงจุด ส่วน L4 และ L5 เสถียร (ถ้ามวลของวัตถุใหญ่มากกว่าวัตถุเล็กราว 25 เท่าขึ้นไป) วัตถุที่เบี่ยงออกไปจะโคจรวนรอบจุดเหล่านี้โดยไม่หลุดหาย

ใช้งานจริง

• L1 ของดวงอาทิตย์กับโลก มองเห็นดวงอาทิตย์ตลอดเวลาโดยไม่มีโลกบัง เป็นที่ตั้งของหอสังเกตการณ์ดวงอาทิตย์ SOHO และยานที่เตือนพายุสุริยะล่วงหน้าราวหนึ่งชั่วโมง รวมถึงยานอาทิตยะ-L1 ของอินเดีย
• L2 ของดวงอาทิตย์กับโลก ดวงอาทิตย์ โลก และดวงจันทร์อยู่ด้านเดียวกันเสมอ กล้องจึงกางแผ่นบังแสงแผ่นเดียวกันความร้อนจากทั้งสามได้ และเย็นพอสำหรับการสังเกตอินฟราเรด เป็นที่อยู่ของกล้องเจมส์เวบบ์ กล้องไกอา และกล้องยูคลิด
• L4 และ L5 ของดวงอาทิตย์กับดาวพฤหัสบดี มีดาวเคราะห์น้อยทรอยรวมตัวอยู่กว่าหมื่นดวง ยานลูซีของ NASA กำลังเดินทางไปสำรวจ
• โลกก็มีดาวเคราะห์น้อยทรอยที่จุด L4 อย่างน้อยสองดวงที่ค้นพบแล้ว