หน้าหลัก › บทความดาราศาสตร์ › ฟิสิกส์ดาราศาสตร์
ฟิสิกส์ดาราศาสตร์

กลศาสตร์วงโคจร: พลังงาน วงรี และสมการวิสไววา

Orbital mechanics and the vis-viva equation

อัปเดตล่าสุด

ทุกอย่างที่โคจรในอวกาศ ตั้งแต่ดาวเทียมไปจนถึงดาวหาง ทำตามกฎชุดเดียวกัน ความเร็ว ณ ตำแหน่งใดบนวงโคจรหาได้จากสมการเดียวที่เชื่อมระยะทางกับขนาดของวงโคจร

กฎของเคปเลอร์บอกว่าดาวเคราะห์โคจรเป็นวงรี กวาดพื้นที่เท่ากันในเวลาเท่ากัน และกำลังสองของคาบแปรตามกำลังสามของขนาดวงโคจร นิวตันแสดงว่ากฎทั้งสามมาจากกฎแรงโน้มถ่วงข้อเดียว บทความนี้ดูวงโคจรผ่านมุมมองของพลังงาน ซึ่งทำให้คำนวณหลายอย่างได้ง่ายมาก

รูปร่างของวงโคจร

วงรีกำหนดด้วยระยะกึ่งแกนเอก a (ครึ่งหนึ่งของความยาวด้านยาวของวงรี) และความรี e (บอกว่าวงรีแบนแค่ไหน ความรี 0 คือวงกลม) วัตถุศูนย์กลางอยู่ที่จุดโฟกัสจุดหนึ่ง ไม่ใช่จุดศูนย์กลางของวงรี ระยะใกล้ที่สุดและไกลที่สุดคือวัตถุที่โคจรจึงเข้าใกล้และห่างออกไปสลับกัน ยิ่งความรีมาก ระยะใกล้สุดกับไกลสุดยิ่งต่างกันมาก

r_p = a(1-e),\qquad r_a = a(1+e)

ระยะจากโฟกัสถึงวงโคจรในแนวตั้งฉากกับแกนเอกเรียกว่ากึ่งลาตัสเรกตัม มีค่า p = a(1-e^2) = b^2/a เมื่อ b คือระยะกึ่งแกนโท

พลังงานบอกขนาดของวงโคจร

พลังงานรวมต่อหน่วยมวลของวัตถุที่โคจรรอบมวล M ดาวดวงหนึ่งขึ้นกับระยะกึ่งแกนเอกเท่านั้น ไม่ขึ้นกับความรี

\varepsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{GM}{r} = -\frac{GM}{2a}

สมการวิสไววา

ความเร็วบนวงโคจร

จัดสมการพลังงานใหม่จะได้ความเร็วที่ตำแหน่งใดก็ได้บนวงโคจร

v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)

สมการเดียวนี้ใช้ได้กับวงกลม (r=a ได้ v=\sqrt{GM/r}) และวงรีทุกแบบ เช่น ดาวหางที่มีระยะใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดเป็นหนึ่งในเก้าของระยะไกลที่สุด จะเคลื่อนที่ที่จุดใกล้ที่สุดเร็วกว่าที่จุดไกลที่สุดเก้าเท่า ซึ่งตรงกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม r_p v_p = r_a v_a

จากหลักพลังงานเดียวกันนี้ นักดาราศาสตร์คำนวณความเร็วของวัตถุได้ทุกตำแหน่งบนวงโคจร ยิ่งเข้าใกล้ดาวที่มันโคจรรอบยิ่งเคลื่อนที่เร็ว ยิ่งอยู่ไกลยิ่งช้า เช่น ดาวหางที่มีระยะใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดเป็นหนึ่งในเก้าของระยะไกลที่สุด จะเคลื่อนที่ที่จุดใกล้ที่สุดเร็วกว่าที่จุดไกลที่สุดถึงเก้าเท่า

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ฉบับเต็ม

สำหรับวัตถุสองชิ้นที่โคจรรอบกัน ทั้งคู่โคจรรอบจุดศูนย์กลางมวลร่วม และคาบสัมพันธ์กับมวลรวม ที่ระยะเท่ากัน ยิ่งมวลรวมมากก็ยิ่งโคจรรอบกันเร็ว

P^2 = \frac{4\pi^2}{G\,(M_1+M_2)}\,a^3

ในหน่วยที่ใช้บ่อย (ปี หน่วยดาราศาสตร์ และมวลดวงอาทิตย์) สูตรนี้ลดรูปเป็น P^2 = a^3/(M_1+M_2) นี่คือวิธีหลักที่นักดาราศาสตร์ใช้ชั่งมวลของดาวฤกษ์ ดาวเคราะห์ และหลุมดำ คือดูว่ามีอะไรโคจรรอบมันด้วยคาบและขนาดเท่าไร

ตัวอย่าง: ดาวเคราะห์น้อยที่ระยะ 2 ถึง 6 หน่วยดาราศาสตร์

ระยะกึ่งแกนเอกคือค่าเฉลี่ยของระยะใกล้สุดและไกลสุด a = (2+6)/2 = 4 หน่วยดาราศาสตร์ คาบการโคจรรอบดวงอาทิตย์จึงเป็น P=\sqrt{4^3}=8 ปี

เปิดในเว็บไซต์ NewTutorAstronomy ›

คำศัพท์ในบทความนี้

บทความที่เกี่ยวข้อง