จรวดและการเดินทางในอวกาศ: สมการจรวดของซีออลคอฟสกี

จรวดทำงานตามกฎข้อที่สามของนิวตันและการอนุรักษ์โมเมนตัม แก๊สร้อนที่ถูกพ่นออกจากท้ายจรวดด้วยความเร็วสูงผลักจรวดไปข้างหน้า จรวดจึงทำงานได้ในสุญญากาศ ไม่ต้องมีอากาศให้ผลัก ซึ่งตรงข้ามกับที่หลายคนเคยเชื่อในยุคแรก

สมการจรวด

ทำไมจรวดต้องเป็นเชื้อเพลิงเกือบทั้งลำ

ในปี ค.ศ. 1903 คอนสตันติน ซีออลคอฟสกี ครูคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย หาความเร็วที่จรวดเปลี่ยนได้เมื่อเผาเชื้อเพลิงจนหมด

เมื่อ v_e คือความเร็วไอเสีย m_0 คือมวลเริ่มต้นรวมเชื้อเพลิง และ m_f คือมวลเมื่อเชื้อเพลิงหมด ลอการิทึมในสูตรคือข่าวร้าย ถ้าต้องการ \Delta v มากขึ้นสองเท่า อัตราส่วนมวลต้องยกกำลังสอง

ความเร็วที่จรวดเพิ่มได้ขึ้นกับสองอย่าง คือความเร็วของไอเสียที่พ่นออกไป และสัดส่วนระหว่างมวลตอนเริ่มต้นรวมเชื้อเพลิงกับมวลตอนเชื้อเพลิงหมด ข่าวร้ายคือความสัมพันธ์นี้เป็นแบบลอการิทึม ถ้าต้องการความเร็วเพิ่มขึ้นสองเท่า สัดส่วนมวลนั้นต้องยกกำลังสอง เช่น จาก 4 เท่ากลายเป็น 16 เท่า

การขึ้นสู่วงโคจรต่ำของโลกต้องเพิ่มความเร็วราว 9.4 กิโลเมตรต่อวินาที (ความเร็วโคจรราว 7.8 บวกกับส่วนที่เสียไปกับแรงโน้มถ่วงและแรงต้านอากาศ) เครื่องยนต์เคมีที่ดีมีความเร็วไอเสียราว 3 ถึง 4.4 กิโลเมตรต่อวินาที จึงต้องมีอัตราส่วนมวลราว 15 เท่า (e^{9.4/3.5}\approx 15) คือจรวดต้องเป็นเชื้อเพลิงราว 93% ของน้ำหนักทั้งหมด

จรวดหลายท่อน

ทางแก้คือแบ่งจรวดเป็นท่อน เมื่อเชื้อเพลิงในท่อนแรกหมด ก็ทิ้งถังและเครื่องยนต์ที่หนักไป ท่อนต่อไปจึงเร่งมวลที่เบากว่า จรวดแซตเทิร์นไฟฟ์ที่ส่งนักบินอวกาศไปดวงจันทร์หนักราว 2,900 ตันตอนขึ้น แต่ส่วนที่กลับถึงโลกมีเพียงแคปซูลราว 5 ตัน

งบความเร็ว

วิศวกรอวกาศวางแผนภารกิจด้วยการรวมความเร็วที่ต้องเปลี่ยนในทุกขั้นตอน (เรียกว่าเดลตาวี \Delta v) เหมือนงบประมาณ เช่น จากวงโคจรต่ำของโลกไปวงโคจรค้างฟ้าต้องการเพิ่มราว 3.9 กิโลเมตรต่อวินาที ไปดวงจันทร์ราว 3.1 กิโลเมตรต่อวินาทีเพื่อออกจากวงโคจรโลก

วงโคจรถ่ายโอนของโฮห์มันน์

วิธีที่ประหยัดเชื้อเพลิงที่สุดในการย้ายระหว่างวงโคจรวงกลมสองวงคือใช้วงรีที่สัมผัสวงในและวงนอกพอดี จุดเครื่องยนต์สองครั้ง ที่จุดใกล้สุดและไกลสุด สำหรับการไปดาวอังคาร ยานต้องออกเดินทางเมื่อดาวอังคารอยู่ในตำแหน่งที่จะไปถึงจุดนัดพบพอดีเมื่อยานไปถึง หน้าต่างเวลานี้เปิดราวทุก 26 เดือน ตามคาบซินอดิกของดาวอังคาร

การเดินทางใช้เวลาราว 7 ถึง 9 เดือน ซึ่งเท่ากับครึ่งหนึ่งของคาบวงโคจรถ่ายโอนตามกฎข้อที่สามของเคปเลอร์

ยืมพลังงานจากดาวเคราะห์

ยานที่บินผ่านใกล้ดาวเคราะห์ในมุมที่เหมาะสมจะได้ความเร็วเพิ่มขึ้นเทียบกับดวงอาทิตย์ โดยดาวเคราะห์เสียพลังงานไปเพียงเล็กน้อยจนวัดไม่ได้ เทคนิคนี้เรียกว่าการเหวี่ยงด้วยแรงโน้มถ่วง ทำให้ยานวอยเอจเจอร์ไปถึงดาวเคราะห์ชั้นนอกได้ภายในเวลาที่สั้นกว่ามาก และยานหลายลำที่ไปดาวพุธหรือดาวพฤหัสบดีก็ใช้การเหวี่ยงรอบโลกและดาวศุกร์หลายครั้ง