สมการฟรีดมันน์และรูปร่างของเอกภพ

The Friedmann equations and the shape of the universe

อัปเดตล่าสุด 18 ต.ค. 2569

แสดงสูตรคณิตศาสตร์

สมการไม่กี่บรรทัดจากสัมพัทธภาพทั่วไปบอกว่าเอกภพขยายตัวอย่างไรตามสิ่งที่บรรจุอยู่ภายใน ทั้งสสาร รังสี และพลังงานมืด และบอกด้วยว่าอวกาศโค้งหรือแบน คำตอบจากการสังเกตคือเอกภพแบนอย่างน่าประหลาด

ในปี ค.ศ. 1922 อะเล็กซานเดอร์ ฟรีดมันน์ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย แก้สมการสนามของไอน์สไตน์สำหรับเอกภพที่เนื้อเดียวกันและเหมือนกันทุกทิศ และพบว่าเอกภพแบบนี้ไม่ควรหยุดนิ่ง แต่ควรขยายหรือหดตัว ไอน์สไตน์ไม่เชื่อในตอนแรก จนกระทั่งฮับเบิลพบการขยายตัวจริงหลายปีต่อมา

ตัวประกอบสเกล

แทนที่จะติดตามดาราจักรทุกดวง เราบรรยายการขยายตัวของเอกภพด้วยตัวเลขตัวเดียว คือตัวประกอบสเกล a(t) ซึ่งบอกว่าระยะห่างระหว่างดาราจักรใด ๆ ใหญ่ขึ้นกี่เท่าเทียบกับปัจจุบัน (กำหนดให้ a=1 เท่ากับ 1 ในปัจจุบัน) แสงที่มีการเลื่อนทางแดง z ออกเดินทางเมื่อ a = 1/(1+z) เช่น แสงที่ออกเดินทางตอนที่ระยะห่างทุกอย่างยังเป็นครึ่งหนึ่งของตอนนี้ จะถูกยืดความยาวคลื่นออกเป็นสองเท่าเมื่อมาถึงเรา อัตราการขยายตัวคือพารามิเตอร์ฮับเบิล H = \dot a/a

สมการฟรีดมันน์

อะไรกำหนดการขยายตัว

H^2 = \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}

พจน์แรกคือผลของความหนาแน่นของสสารและรังสี พจน์ที่สองคือความโค้งของอวกาศ (k เป็นบวก ศูนย์ หรือลบ) และพจน์สุดท้ายคือค่าคงที่จักรวาล สมการนี้มีความหมายคล้ายการอนุรักษ์พลังงาน คืออัตราการขยายตัวถูกกำหนดด้วยสิ่งที่อยู่ในเอกภพ

สมการของฟรีดมันน์บอกว่าอัตราการขยายตัวของเอกภพถูกกำหนดด้วยสามอย่าง คือความหนาแน่นของสสารและรังสี ความโค้งของอวกาศ และค่าคงที่จักรวาลหรือพลังงานมืด มีความหมายคล้ายการอนุรักษ์พลังงาน คือสิ่งที่อยู่ในเอกภพเป็นตัวกำหนดว่ามันขยายเร็วแค่ไหน

ความหนาแน่นวิกฤต

ถ้าไม่มีความโค้ง (k=0) ความหนาแน่นรวมต้องเท่ากับค่าหนึ่งพอดี เรียกว่าความหนาแน่นวิกฤต

\rho_c = \frac{3H_0^2}{8\pi G} \approx 9\times 10^{-27}\ \mathrm{kg/m^3}

เท่ากับความหนาแน่นวิกฤตในปัจจุบันเท่ากับอะตอมไฮโดรเจนราวห้าอะตอมต่อลูกบาศก์เมตรเท่านั้น นักจักรวาลวิทยาเขียนความหนาแน่นของแต่ละองค์ประกอบเป็นสัดส่วนของค่านี้ เรียกว่าพารามิเตอร์ความหนาแน่น \Omega ค่าในปัจจุบันจากการวัดของ Planck คือ สสารมืดราว 26% สสารปกติราว 5% พลังงานมืดราว 69% และรังสีเพียงราว 0.01% ผลรวมเท่ากับ 1 ภายในความคลาดเคลื่อนเพียงไม่ถึงครึ่งเปอร์เซ็นต์

รูปร่างของเอกภพ

ความหนาแน่นมากกว่าวิกฤต อวกาศโค้งเป็นบวก คล้ายผิวทรงกลม มุมของสามเหลี่ยมรวมกันมากกว่า 180 องศา
เท่ากับวิกฤต อวกาศแบน เรขาคณิตแบบยุคลิดที่เรียนในโรงเรียนใช้ได้
น้อยกว่าวิกฤต อวกาศโค้งเป็นลบ คล้ายอานม้า มุมของสามเหลี่ยมรวมกันน้อยกว่า 180 องศา

นักดาราศาสตร์วัดรูปร่างนี้ด้วยสามเหลี่ยมที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่มี คือขนาดเชิงมุมของจุดร้อนจุดเย็นในรังสีไมโครเวฟพื้นหลัง ซึ่งรู้ขนาดจริงจากฟิสิกส์ของเอกภพยุคแรก ขนาดเชิงมุมที่วัดได้ราวหนึ่งองศาตรงกับอวกาศแบนพอดี

ประวัติการขยายตัว

สสารเจือจางตาม a^{-3}ลงเพราะปริมาตรเพิ่ม รังสีเจือจางเร็วกว่าตาม a^{-4} (เพราะความยาวคลื่นถูกยืดด้วย) ส่วนค่าคงที่จักรวาลไม่เจือจางเลย เอกภพจึงผ่านสามยุค ยุคแรกรังสีครอบงำ จนราว 50,000 ปีหลังบิกแบงสสารเริ่มครอบงำ และราว 10,000 ล้านปีหลังบิกแบงพลังงานมืดเริ่มครอบงำ การขยายตัวเปลี่ยนจากช้าลงเป็นเร่งขึ้น

เปิดในเว็บไซต์ NewTutorAstronomy ›

คำศัพท์ในบทความนี้

Friedmann equationsสมการฟรีดมันน์
FLRW metricเมตริก FLRW
scale factorตัวประกอบสเกล
Hubble parameterพารามิเตอร์ฮับเบิล
critical densityความหนาแน่นวิกฤต
density parameterพารามิเตอร์ความหนาแน่น
deceleration parameterพารามิเตอร์การหน่วง
Lambda-CDM modelแบบจำลองแลมบ์ดา-ซีดีเอ็ม